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Maîtrisez vos bases en algèbre & arithmétique: MASTER, CAPES, AGRÉGATION
Description Maîtrisez vos bases en algèbre & arithmétique: MASTER, CAPES, AGRÉGATION. Ce livre permet d'effectuer une révision approfondie des notions de base en algèbre, algèbre linéaire et arithmétique abordées durant les quatre premières années d'université. Il s'adresse en priorité aux candidats au CAPES ou à l'agrégation, pour une mise à niveau rigoureuse, rapide et ciblée. Il sera aussi utile aux étudiants de licence et de master de mathématiques. Les parties (chapitres, sections ou sous-sections) marquées d'un astérisque sont réservées aux agrégatifs internes ou externes, tandis que toutes les parties sans astérisque sont importantes pour la préparation du capésien, permettant d'amasser des connaissances et des munitions pour passer les écrits et les oraux du concours dans de bonnes conditions. Une lecture approfondie de la table des matières montre l'étendue des révisions proposées, l'idée étant de placer le plus de données essentielles possibles au même endroit pour proposer un livre de référence : fonctions et relations, entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, notion de cardinal et de dénombrabilité, groupes, groupes-quotients, groupes symétriques, anneaux, polynômes, nombres complexes sans oublier toute l'algèbre linéaire, l'étude complète de la réduction des endomorphismes, et l'arithmétique dans l'anneau des entiers relatifs.Ce cours permet de traiter tous les thèmes d'algèbre et d'arithmétique figurant dans le programme officiel du CAPES et CAFEP 2020, c'est-à-dire les items suivants : 1) Raisonnement et vocabulaire ensembliste. Opérateurs logiques et quantificateurs. Vocabulaire de la théorie des ensembles. Applications, relations d'ordre et relations d'équivalence. 2) Nombres complexes. Module et argument. Racines n-ièmes de l'unité. Exponentielle complexe, trigonométrie. Application à la géométrie plane. Équation du second degré. 3) Algèbre linéaire. Systèmes linéaires, algorithme du pivot de Gauss-Jordan. Espaces vectoriels de dimension finie, familles libres, familles génératrices, bases. Applications linéaires. Homothéties, projections et symétries. Rang d'une application linéaire. Représentations matricielles d'un endomorphisme. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : éléments propres, diagonalisation, trigonalisation. 4) Matrices et déterminants. Calcul matriciel, matrices inversibles, transposition. Matrices et applications linéaires, changement de bases. Équivalence, similitude. Déterminant d'une matrice carrée, d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. 5) Arithmétique des entiers. Arithmétique des entiers : nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d'Euclide. Sous-groupes de Z. Congruences. Anneaux Z/nZ. Théorème des restes chinois, petit théorème de Fermat. 6) Polynômes. Arithmétique des polynômes à coefficients réels ou complexes. Racines. Décomposition dans R[X] et C[X]. 7) Groupes. Sous-groupes, morphismes de groupes. Groupes monogènes et groupes cycliques : groupes Z/nZ, groupe des racines n-ièmes de l'unité ; générateurs, indicatrice d'Euler. Ordre d'un élément. Groupes symétriques. Exemples de groupes agissant sur un ensemble, exemples de groupes laissant invariante une partie du plan ou de l'espace. Un travail assidu sur les différents chapitres de ce livre permettra de bien posséder ces connaissances, pour son plaisir et pour les utiliser au moment opportun.
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